ความสอดคล้องคืออะไร?

ในบันทึกก่อนหน้านี้ เราพบว่าเสียงทำงานอย่างไร มาทำซ้ำสูตรนี้กัน:

เสียง = กราวด์โทน + โอเวอร์หลายอันทั้งหมด

นอกจากนี้ ในขณะที่คนญี่ปุ่นชื่นชมดอกซากุระ เราจะชื่นชมกราฟการตอบสนองความถี่ – ลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ของเสียง (รูปที่ 1):

โปรดจำไว้ว่าแกนนอนแสดงถึงระดับเสียง (ความถี่การสั่น) และแกนแนวตั้งแสดงถึงความดัง (แอมพลิจูด)

เส้นแนวตั้งแต่ละเส้นเป็นฮาร์มอนิก ฮาร์มอนิกแรกมักจะเรียกว่าพื้นฐาน ฮาร์มอนิกจัดเรียงดังนี้: ฮาร์มอนิกที่สองสูงกว่าโทนเสียงพื้นฐาน 2 เท่า ที่สามคือสาม ที่สี่คือสี่และอื่น ๆ

เพื่อความกระชับ แทนที่จะเป็น “ความถี่ nฮาร์โมนิกส์” เราจะพูดง่ายๆ ว่า “nฮาร์โมนิก” และแทนที่จะเป็น “ความถี่พื้นฐาน” – “ความถี่เสียง”

ดังนั้นเมื่อพิจารณาจากการตอบสนองความถี่แล้ว เราจะตอบคำถามได้ไม่ยากว่าความสอดคล้องคืออะไร

วิธีการนับถึงอนันต์?

ความสอดคล้องหมายถึง "ร่วมเสียง" ทำให้เกิดเสียงร่วมกัน เสียงที่ต่างกันสองเสียงสามารถฟังได้อย่างไร?

มาวาดมันบนแผนภูมิเดียวกันภายใต้กันและกัน (รูปที่ 2):

นี่คือคำตอบ: ฮาร์โมนิกบางตัวสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในความถี่ได้ มีเหตุผลที่จะสมมติว่ายิ่งความถี่ที่ตรงกันมากเท่าใด เสียง "ทั่วไป" ก็ยิ่งมีมากขึ้นเท่านั้น และด้วยเหตุนี้ เสียงของช่วงเวลาดังกล่าวยิ่งมีความสอดคล้องกันมากขึ้นเท่านั้น เพื่อให้แม่นยำที่สุด เป็นสิ่งสำคัญไม่เพียงแต่จำนวนฮาร์โมนิกที่เข้าคู่กันเท่านั้น แต่สัดส่วนของฮาร์โมนิกที่มีเสียงทั้งหมดตรงกันคืออัตราส่วนของจำนวนการจับคู่กับจำนวนฮาร์โมนิกที่ส่งเสียงทั้งหมด

เราได้รับสูตรที่ง่ายที่สุดสำหรับการคำนวณพยัญชนะ:

ที่ไหน N_ซอฟ คือจำนวนฮาร์โมนิกที่ตรงกัน  N_{ร่วมกัน} คือจำนวนเสียงฮาร์โมนิกทั้งหมด (จำนวนความถี่เสียงที่ต่างกัน) และ ข้อเสีย และเป็นพยัญชนะที่เราปรารถนา เพื่อให้ถูกต้องทางคณิตศาสตร์ เรียกปริมาณจะดีกว่า การวัดความสอดคล้องของความถี่

เรื่องเล็ก: คุณต้องคำนวณ N_ซอฟ и N_{ร่วมกัน}, หารกันและได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

ปัญหาเดียวคือทั้งจำนวนฮาร์โมนิกทั้งหมดและแม้แต่จำนวนฮาร์มอนิกที่ตรงกันนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหารอนันต์ด้วยอนันต์?

ลองเปลี่ยนขนาดของแผนภูมิก่อนหน้า "ย้าย" จากมัน (รูปที่ 3)

เราเห็นว่าฮาร์โมนิกที่ตรงกันเกิดขึ้นครั้งแล้วครั้งเล่า รูปภาพซ้ำ (รูปที่ 4)

การทำซ้ำนี้จะช่วยเราได้

ก็เพียงพอแล้วที่เราจะคำนวณอัตราส่วน (1) ในรูปสี่เหลี่ยมจุดประอันใดอันหนึ่ง (เช่น ในอันแรก) จากนั้นเนื่องจากการซ้ำซ้อนและทั้งเส้น อัตราส่วนนี้จะยังคงเท่าเดิม

เพื่อความเรียบง่าย ความถี่ของโทนพื้นฐานของเสียงแรก (ล่าง) จะถือว่าเท่ากับความสามัคคี และความถี่ของโทนเสียงพื้นฐานของเสียงที่สองจะเขียนเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้  .

ให้เราสังเกตในวงเล็บว่า ในระบบดนตรี ตามกฎแล้ว เสียงที่ใช้อย่างแม่นยำ อัตราส่วนของความถี่ที่แสดงด้วยเศษส่วนบางส่วน  . ตัวอย่างเช่น ช่วงที่ห้าคืออัตราส่วน  , ควอร์ต –  , ไทรทัน —   เป็นต้น

มาคำนวณอัตราส่วน (1) ภายในสี่เหลี่ยมแรก (รูปที่ 4)

มันค่อนข้างง่ายที่จะนับจำนวนฮาร์โมนิกที่ตรงกัน อย่างเป็นทางการ มีอยู่สองคน คนหนึ่งอยู่ในเสียงล่าง ที่สอง – อยู่ด้านบน ในรูปที่ 4 พวกเขาถูกทำเครื่องหมายด้วยสีแดง แต่ฮาร์โมนิกทั้งสองนี้ให้เสียงที่ความถี่เดียวกันตามลำดับ หากเรานับจำนวนความถี่ที่ตรงกัน ก็จะมีความถี่ดังกล่าวเพียงความถี่เดียว

จำนวนความถี่เสียงทั้งหมดคืออะไร?

มาเถียงกันแบบนี้

ฮาร์โมนิกของเสียงต่ำทั้งหมดจัดเรียงเป็นจำนวนเต็ม (1, 2, 3, ฯลฯ ) ทันทีที่ฮาร์โมนิกของเสียงบนเป็นจำนวนเต็ม ก็จะตรงกับฮาร์โมนิกของเสียงล่างอันใดอันหนึ่ง ฮาร์โมนิกของเสียงบนเป็นทวีคูณของโทนเสียงพื้นฐาน ดังนั้นความถี่ n-th ฮาร์โมนิกจะเท่ากับ:

นั่นคือมันจะเป็นจำนวนเต็ม (ตั้งแต่ m เป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งหมายความว่าเสียงบนในสี่เหลี่ยมมีฮาร์โมนิกตั้งแต่แรก (เสียงพื้นฐาน) ถึง n-โอ้ ดังนั้น เสียง n ความถี่.

เนื่องจากฮาร์โมนิกของเสียงต่ำทั้งหมดอยู่ในจำนวนเต็มและตาม (3) ความบังเอิญครั้งแรกเกิดขึ้นที่ความถี่ mปรากฎว่าเสียงล่างในสี่เหลี่ยมจะให้ m ความถี่เสียง

ควรสังเกตว่าความถี่ที่ตรงกัน m เรานับสองครั้งอีกครั้ง: เมื่อเรานับความถี่ของเสียงบนและเมื่อเรานับความถี่ของเสียงล่าง แต่ในความเป็นจริง ความถี่คือหนึ่ง และสำหรับคำตอบที่ถูกต้อง เราจะต้องลบความถี่ "พิเศษ" หนึ่งรายการ

ผลรวมของความถี่เสียงทั้งหมดภายในสี่เหลี่ยมจะเป็น:

แทนที่ (2) และ (4) เป็นสูตร (1) เราได้รับนิพจน์ง่ายๆสำหรับการคำนวณพยัญชนะ:

เพื่อเน้นความสอดคล้องของเสียงที่เราคำนวณ คุณสามารถระบุเสียงเหล่านี้ในวงเล็บ ข้อเสีย:

ด้วยการใช้สูตรง่ายๆ ดังกล่าว คุณสามารถคำนวณความสอดคล้องของช่วงเวลาใดก็ได้

และตอนนี้ ลองพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของความสอดคล้องความถี่และตัวอย่างการคำนวณ

คุณสมบัติและตัวอย่าง

ขั้นแรก ให้คำนวณพยัญชนะสำหรับช่วงเวลาที่ง่ายที่สุดและตรวจดูให้แน่ใจว่าสูตร (6) “ได้ผล”

ช่วงเวลาใดที่ง่ายที่สุด?

พรีม่าแน่นอน โน้ตสองตัวดังขึ้นพร้อมกัน บนแผนภูมิจะมีลักษณะดังนี้:

เราเห็นว่าความถี่เสียงทั้งหมดตรงกันอย่างแน่นอน ดังนั้นความสอดคล้องต้องเท่ากับ:

ทีนี้ลองแทนอัตราส่วนของความพร้อมเพรียงกัน  ในสูตร (6) เราได้รับ:

การคำนวณเกิดขึ้นพร้อมกับคำตอบที่ "ใช้งานง่าย" ซึ่งคาดหมายได้

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่งซึ่งคำตอบโดยสัญชาตญาณก็ชัดเจนพอๆ กัน – อ็อกเทฟ

ในอ็อกเทฟเสียงบนจะสูงกว่าเสียงล่าง 2 เท่า (ตามความถี่ของโทนเสียงพื้นฐาน) ตามลำดับบนกราฟจะมีลักษณะดังนี้:

จากกราฟจะเห็นได้ว่าทุก ๆ วินาทีฮาร์โมนิกเกิดขึ้นพร้อมกัน และคำตอบโดยสัญชาตญาณคือ ความสอดคล้องคือ 50%

ลองคำนวณตามสูตร (6):

และอีกครั้ง ค่าที่คำนวณได้จะเท่ากับ "สัญชาตญาณ"

ถ้าเราจดโน้ตเป็นเสียงต่ำ ไปยัง และพล็อตค่าพยัญชนะสำหรับช่วงเวลาทั้งหมดภายในอ็อกเทฟบนกราฟ (ช่วงเวลาง่ายๆ) จะได้ภาพดังนี้

การวัดความสอดคล้องสูงสุดอยู่ในอ็อกเทฟ ที่ห้า และสี่ ในอดีตพวกเขาอ้างถึงพยัญชนะที่ "สมบูรณ์แบบ" ส่วนรองและหลักที่สาม และรองและหลักที่หกจะต่ำกว่าเล็กน้อย ช่วงเวลาเหล่านี้ถือเป็นพยัญชนะที่ "ไม่สมบูรณ์" ช่วงเวลาที่เหลือมีระดับความสอดคล้องที่ต่ำกว่า ซึ่งปกติแล้วจะอยู่ในกลุ่มของความไม่สอดคล้องกัน

ตอนนี้เราแสดงรายการคุณสมบัติบางอย่างของการวัดความสอดคล้องของความถี่ซึ่งมาจากสูตรสำหรับการคำนวณ:

1. อัตราส่วนที่ซับซ้อนมากขึ้น  (ยิ่งจำนวน m и n) พยัญชนะน้อยกว่า ช่วงเวลา.

И m и n ในสูตร (6) อยู่ในตัวส่วน ดังนั้น เมื่อตัวเลขเหล่านี้เพิ่มขึ้น การวัดความสอดคล้องจะลดลง

2. ความสอดคล้องขึ้นของช่วงเวลาเท่ากับความสอดคล้องลงของช่วงเวลา

เพื่อให้ได้ช่วงขาลงแทนที่จะเป็นช่วงขาขึ้น เราต้องอยู่ในอัตราส่วน   แลกเปลี่ยน m и n. แต่ในสูตร (6) จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงจากการแทนที่ดังกล่าวอย่างแน่นอน

3. การวัดความสอดคล้องความถี่ของช่วงเวลาไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังสร้างโน้ตใด

หากคุณเลื่อนบันทึกย่อทั้งสองโดยช่วงเวลาเดียวกันขึ้นหรือลง (เช่น สร้างส่วนที่ห้า ไม่ใช่จากบันทึกย่อ ไปยังแต่จากหมายเหตุ D) จากนั้นอัตราส่วน  ระหว่างโน้ตจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น การวัดความสอดคล้องของความถี่จะยังคงเหมือนเดิม

เราสามารถให้คุณสมบัติอื่น ๆ ของการสอดคล้องกัน แต่สำหรับตอนนี้ เราจะจำกัดตัวเองให้สิ่งเหล่านี้

ฟิสิกส์และเนื้อเพลง

รูปที่ 7 ให้แนวคิดว่าความสอดคล้องทำงานอย่างไร แต่นี่เป็นวิธีที่เรารับรู้ถึงความสอดคล้องของช่วงเวลาจริง ๆ หรือไม่? มีคนที่ไม่ชอบพยัญชนะที่สมบูรณ์แบบ แต่ความสามัคคีที่ไม่ลงรอยกันมากที่สุดดูน่าพอใจหรือไม่?

ใช่ คนแบบนี้มีอยู่จริง และเพื่ออธิบายสิ่งนี้ ควรแยกแนวคิดสองประการ: ความสอดคล้องทางกายภาพ и ความสอดคล้องที่รับรู้.

ทุกสิ่งที่เราพิจารณาในบทความนี้เกี่ยวข้องกับความสอดคล้องทางกายภาพ ในการคำนวณ คุณต้องรู้ว่าเสียงทำงานอย่างไร และการสั่นสะเทือนต่างกันอย่างไร ความสอดคล้องทางกายภาพให้ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการรับรู้ที่สอดคล้องกัน แต่ไม่ได้กำหนด 100%

พยัญชนะที่รับรู้ถูกกำหนดอย่างง่ายมาก มีคนถามว่าเขาชอบพยัญชนะนี้หรือไม่ ถ้าใช่ มันก็เป็นความสอดคล้องกันสำหรับเขา ถ้าไม่ใช่ก็คือความไม่ลงรอยกัน หากเขาได้รับช่วงเวลาสองช่วงเพื่อเปรียบเทียบ เราสามารถพูดได้ว่าหนึ่งในนั้นดูเหมือนจะเป็นพยัญชนะสำหรับบุคคลในขณะนั้น อีกส่วนจะน้อยกว่า

สามารถคำนวณความสอดคล้องที่รับรู้ได้หรือไม่? แม้ว่าเราคิดว่าเป็นไปได้ การคำนวณนี้จะซับซ้อนอย่างมหันต์ แต่จะรวมอินฟินิตี้อีกอันหนึ่งเข้าไปด้วย นั่นคือ ประสบการณ์ของเขา ลักษณะการได้ยิน และความสามารถของสมอง อินฟินิตี้นี้ไม่ง่ายนักที่จะรับมือ

อย่างไรก็ตาม การวิจัยในพื้นที่นี้ยังคงดำเนินต่อไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นักแต่งเพลง Ivan Soshinsky ที่กรุณาจัดหาสื่อเสียงสำหรับโน้ตเหล่านี้ ได้พัฒนาโปรแกรมที่คุณสามารถสร้างแผนที่ส่วนบุคคลของการรับรู้ของพยัญชนะสำหรับแต่ละคน ไซต์ mu-theory.info กำลังอยู่ระหว่างการพัฒนา ซึ่งทุกคนสามารถทดสอบและค้นหาคุณสมบัติของการได้ยินของพวกเขาได้

และถ้ามีความสอดคล้องที่รับรู้และแตกต่างจากทางกายภาพ ประเด็นในการคำนวณอย่างหลังคืออะไร? เราสามารถจัดรูปแบบคำถามนี้ใหม่ในลักษณะที่สร้างสรรค์มากขึ้น: แนวคิดทั้งสองนี้เกี่ยวข้องกันอย่างไร

จากการศึกษาพบว่ามีความสัมพันธ์กันระหว่างความสอดคล้องที่รับรู้โดยเฉลี่ยกับความสอดคล้องทางกายภาพอยู่ที่ 80% ซึ่งหมายความว่าแต่ละคนอาจมีลักษณะเฉพาะของตนเอง แต่ฟิสิกส์ของเสียงมีส่วนสนับสนุนอย่างท่วมท้นในคำจำกัดความของความสอดคล้อง

แน่นอนว่าการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ในพื้นที่นี้ยังอยู่ในช่วงเริ่มต้น และในฐานะที่เป็นโครงสร้างเสียง เราได้นำโมเดลฮาร์โมนิกหลายตัวที่ค่อนข้างเรียบง่ายมาใช้ และการคำนวณความสอดคล้องนั้นใช้ความถี่ที่ง่ายที่สุด และไม่คำนึงถึงลักษณะเฉพาะของกิจกรรมของสมองในการประมวลผลสัญญาณเสียง แต่ความจริงที่ว่าแม้ภายในกรอบของการทำให้เข้าใจง่ายดังกล่าว ความสัมพันธ์ในระดับที่สูงมากระหว่างทฤษฎีและการทดลองก็ได้รับการสนับสนุนอย่างมากและกระตุ้นการวิจัยเพิ่มเติม

การประยุกต์ใช้วิธีการทางวิทยาศาสตร์ในด้านความกลมกลืนทางดนตรีไม่ได้จำกัดอยู่เพียงการคำนวณความสอดคล้องเท่านั้น แต่ยังให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจยิ่งขึ้นอีกด้วย

ตัวอย่างเช่น ด้วยความช่วยเหลือของวิธีการทางวิทยาศาสตร์ ความสามัคคีทางดนตรีสามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกและเห็นภาพได้ เราจะพูดถึงวิธีการทำในครั้งต่อไป

ผู้เขียน – Roman Oleinikov